การสร้างจำนวนเชิงซ้อน

 การสร้างจำนวนเชิงซ้อน (Construction of Complex Numbers )

           จากการที่กล่าวข้างต้นว่า   สมการพหุนาม X2 + 1 = 0ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง   แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการสร้างระบบจำนวนซึ่งขยายออกไปเพื่อให้สามารถครอบคลุมทุกคำตอบของสมการพหุนามทั้งหมดได้   ดังนั้นจึงจะพิจารณาเซตที่มีจำนวนจริงเป็นสับเซต

บทนิยาม   จำนวนเชิงซ้อน  คือ คู่อันดับ (a , b) เมื่อ a  และ b เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน   การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้
           สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a, b) และ (c, d)
           1.   การเท่ากัน
                 (a , b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ   b = d
           2.   การบวก                                                                                                    
                 (a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)
           3.   การคูณ
                               
           เราอาจแทน     ด้วย  (a, b)(c, d) ก็ได้
           เซตของจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยสัญลักษณ์ C

 ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน(-1, 2) และ (3,  - 4)
วิธีทำ   ( - 1, 2)+(3 - 4)   =   ( - 1 + 3, 2 - 4)
                                                   =   (2,  - 2)
                           ( - 1 , 2)(3, 4)    =   (( - 1)3 - 2( - 4), ( - 1)( - 4)+2.3)
                                                  =   ( - 3 + 8 , 4+6)
                                                  =   (5 , 10)

           พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป (x , 0) จะเห็นว่า
                      (a , 0) + (b , 0)   =   (a + b , 0)
                      (a, 0 )(b , 0)       =       =   (ab, 0)
ซึ่งจะเหมือนกับการบวก และการคูณจำนวนจริง   ฉะนั้นเราสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนในรูป (a , 0) ว่าเป็นจำนวนจริง a ตามข้อสังเกตนี้จะได้ว่า   เซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน   เมื่อเราแทนจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ด้วยจุด (a , b) ในระนาบ XY จะได้ว่าจำนวนจริง a แทนได้ด้วยจุด (a , 0) บนแกน X นั่นเอง

บทนิยาม
           สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = (a , b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง
           เรียก a ว่าส่วนจริง (real   part) ของ z และแทนด้วย Re(z)
           เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z และแทนด้วย Im(x)
           จากบทนิยามนี้   อาจกล่าวได้ว่า จำนวนจริงก็คือ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์   แต่ส่วนจินตภาพไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้ (purely imaginary number)
           ต่อไปพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน (0, 1)
           (0, 1) (0, 1)    =   (0 - 1, 0+0)   =   ( - 1, 0)
           ซึ่งจำนวนเชิงซ้อน ( - 1 , 0) คือจำนวนจริง  - 1 นั่นเอง   เขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน (0, 1) ด้วยสัญลักษณ์ i จะได้ว่า
             I2 = -1
           สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ใดๆ
              (a , b)   =   (a , 0) + (0, b)
                           =   (a, 0) +(b, 0) (0, 1)
                           =   a + bi
           ฉะนั้น   จำนวนเชิงซ้อน (a, b) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ a+ bi

           กำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อนในรูป a + bi เมื่อ a และ b  เป็นจำนวนจริง   ทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้โดยง่ายโดยใช้สมบัติต่างๆ เกี่ยวกับการบวกและการคูณ   เช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและคูณของจำนวนจริง และมีข้อมูลตกลงว่า  I2 = -1 เช่น
                      (a + bi) + (c + di)   =   (a+c)+(bi+di)
                                                     =   (a+c) + (b+d)i
                      (a + bi)(c +di)        =   a(c+di)+bi(c+di)
                                                     =   ac + adi + bci + bdi2
                                                     =   (ac -  bd) + (ad+bc)i
          a + bi    =   c+ di   ก็ต่อเมื่อ   a   =   c   และ   b   =   b
           ต่อไป   เมื่อกล่าวว่า z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน   จะถือว่า a และ b เป็นจำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก

ตัวอย่างที่  2   จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน 3+ 2i และ 1 - i
วิธีทำ          (3+ 2i) + (1 - i)   =   (3+1) + (2 - 1) i
                                                           =   4 + i
                                  (3+2i) (1 - i)       =   3(1 - i)+2i(1 - i)
                                                           =   3  -  3i + 2i + 2i2
                                                           =   (3+2) + ( - 3+2) i
                                                           =   5 -  i

ตัวอย่างที่  3   จงหาจำนวนจริง a , b ทีทำให้  (a+2i) + ( - 1+2bi) = 3 + 8i
วิธีทำ       เนื่องจาก     (a + 2i) + ( - 1 + 2bi)   =   (a - 1) + (2+ 2b)i
                              ฉะนั้น   a - 1   =   3   และ   2 + 2b   =   8
                               ดังนั้น   a   =   4      และ   b   =   3

ตัวอย่างที่  4     จงหาผลคูณ   1+ i , 2+ i และ  - 1 + 3i
วิธีทำ       (1+ i)(2+i)( - 1+3i)   =   [(2 - 1) + (1 + 2 ) i ] ( - 1 +3i)
                                                           =   (1 + 3i) ( - 1 + 3i)
                                                           =   ( - 1 - 9)+(3 - 3) i
                                                           =    - 10 + 0i
                                                           =    - 10
ข้อสังเกต     เมื่อกำหนด i0 = 1แล้ว   จะได้   สำหรับ m     I+    {0}
                I4m = 1, i4m + 1 = I , i4m + 2  = -1, i4m + 3 =  i  

สมบัติที่เกี่ยวกับการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน

                 ถ้า   Z1 , Z2 , Z3 ,เป็นจำนวนเชิงซ้อน   แล้วจะได้ว่า
1.  Z1 + Z2 = Z2 + Z1 และ Z1Z2 = Z2Z1                                                 (สมบัติการสลับที่)
2.  Z1 + (Z2 + Z3) = (Z1+Z2) + Z3 และ Z1(Z2Z3) = (Z1Z2) Z3             (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม)
3.   Z1(Z2 + Z3) = Z1Z2 + Z1Z3                                                               (สมบัติการแจกแจง)


ที่มาของเนื้อหา :http://www.vcharkarn.com/lesson/1508