จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

 จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (Pliar From of Complex Numbers)   

            จากบทนิยามการคูณและการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน จะเห็นว่า การคูณจำนวนเชิงซ้อนหลายๆ จำนวน หรือยกกำลัง n หรือรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนมีความยุงยากซับซ้อน   เราจึงหาวิธีการอื่นๆ มาช่วยให้แก้ปัญหานี้ได้ง่ายขึ้น

           ถ้า    เป็นจำนวนเชิงซ้อน   จะสามารถเขียนแทน z ด้วย เวกเตอร์ระนาบได้ดังนี้

           เมื่อกำหนด   เป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่งวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ทางด้านบวกไปยัง    และ   แทนระยะทางระหว่างจุดกำเนิด o กับ z จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้

             

           นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์ที่ทำให้ค่า r และ  จาก x และ y ดังนี้

                

           ดังนั้นจึงอาจเขียนจำนวนเชิงซ้อน z ได้ในรูปใหม่เป็น

                    

           เรียกรูปแบบการเขียนจำนวนเชิงซ้อนที่เขียนในรูป   ว่าเป็นรูปเชิงขั้ว (polar from) ของ z และเรียก  ว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) ของ z สังเกตว่าเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ

           ดังนั้น              แสดงว่าถ้า    เป็นอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z แล้ว   เป็นอาร์กิวเมนต์ของ z ด้วย สำหรับทุกจำนวนเต็ม n

           นอกจากนั้น   ถ้า      และ   เป็นจำนวนเชิงซ้อน   จะได้ว่า   z₁ = z₂  ก็ต่อเมื่อ r₁ = r₂ และ    เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่  1   จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

                                    

วิธีทำ   1) ให้      เป็นรูปเชิงขั้วของ 2 - 2i   จะได้ว่า

                                    

                         เนื่องจาก      จึงได้ว่า    ที่ทำให้    

                         ดังนั้น   รูปเชิงขั้วรูปหนึ่งของ 2+2i คือ   และรูปเชิงขั้วอื่นของ 2 + 2i  คือ                                                                                                         เมื่อ  

            2)  ให้                                                         
และ  ที่ทำให้    เพราะจุด   อยู่ในควอดรันต์ที่ 4  ดังนั้น   รูปเชิงขั้วของ  คือ

                                  

                        
           3) ให้   

                                                                                   

   และ  ที่ทำให้ อยู่ในควอดรันต์ที่2 ดังนั้น รูปเชิงขั้วของ    คือ

                                   

        4) ให้ 

                                     

                          เนื่องจาก   

                          ควอดรันต์ที่ 3 จึงได้ว่า    ที่ทำให้    

                          ดังนั้น   รูปเชิงขั้วของ 

                                     

ตัวอย่างที่  2  จงหาค่า r และ    เมื่อกำหนด  

วิธีทำ       

           ที่กล่าวมาข้างต้น   เป็นการกล่าวถึงรูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน   สำหรับ z = 0เราจะให้รูปเชิงขั้วคือ

             เป็นมุมขนาดใดก็ได้

           ซึ่งในกรณีนี้   จะเห็นได้ว่า   ถ้า      เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม

            การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว   จะทำให้การคำนวณผลคูณหรือการยกกำลังต่างๆ ทำได้ง่ายขึ้น   ดังจะแสดงให้เห็นในทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 

พิสูจน์   1)            

                                            
                                           

            
  

ตัวอย่างที่  3   จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป   x + yi เมื่อ x , y เป็นจำนวนจริง

                                        

                                         

วิธีทำ   1) ให้      

                                

                                

                                                

                                                

                                                

                                                

                                                

                    

                                                                     

สูตรการคูณของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว จะเห็นว่า

      แล้ว

       จึงสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้

 ทฤษฎีบทของเดอมัวร์ (De Moivre’s Theorem)  

            ถ้า   เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว และ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว       

ถ้า      

กรณีนี้ทฤษฎีบทของเดอมัวร์ยังคงเป็นจริง สำหรับ n = 0 เพราะ r⁰ = 1  

            cos 0   =   1    และ   sin 0   =   0   ดังนั้น

               

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มลบ   ให้ k =  - n

จะได้ว่า k เป็นจำนวนเต็มบวก และ      

                                                

เพราะฉะนั้นทฤษฎีบทของเดอมัวร์เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม จึงสรุปได้ว่า

ถ้า     และ n  เป็นจำนวนเต็มแล้ว

       

ตัวอย่างที่  4   จงเขียน    ในรูป x + yi เมื่อ  

วิธีทำ      เพราะว่า  เขียนได้ในรูป     

                             ดังนั้น โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้ว่า

                              
                                                                     = 531441[ - 1+i(0)]
                                                                     =  - 531441

ที่มาของเนื้อหา :  http://www.vcharkarn.com/lesson/1559