รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน (The nth Roots of Complex Number)
ประโยชน์ของทฤษฎีบทของเดอมัวร์ คือการหาคำตอบของสมการ zn = w เมื่อ w เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งคำตอบของสมการก็คือรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน w นั่นเอง ดังนั้นในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการนำทฤษฎีบทของเดอมัวร์ไปช่วยในการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ จงหารากที่ 3 ของ 1
วิธีทำ เนื่องจาก 1 = 1+0i = 1(cos 0 + isin 0)
ถ้าให้ เป็นรากที่สามของ 1
โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้
ฉะนั้น r3 = 1 และ
จึงได้ว่า r = 1 และ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
นั่นคือ
ฉะนั้น
เมื่อ k = 0 จะได้ z1 = 1
เมื่อ k = 1 จะได้
เมื่อ k = 2 จะได้
เมื่อแทนค่า k ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ จะได้จำนวนเชิงซ้อนที่ซ้ำกับ z1, z2, z3 แสดงว่ารากที่ 3 ของ 1 คือ z1, z2, z3 เท่านั้น
แผนภาพของรากที่ 3 ของ 1 แสดงได้โดยวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วย ดังนี้
สังเกตว่าเวกเตอร์ที่แทนรากที่ 3 ของ 1 แต่ละคู่ที่อยู่ในลำดับติดกัน ทำมุมขนาด เท่ากันทุกคู่
ตัวอย่างที่ 2 จงหารากที่ 6 ของ 64
วิธีทำ เนื่องจาก
ถ้าให้ เป็นรากที่ 6 ของ - 64
โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้
ฉะนั้น และ
จึงได้ว่า r = 2 และ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
นั่นคือ
ฉะนั้น
เมื่อ k = 0 จะได้
เมื่อ k = 1 จะได้
เมื่อ k = 2 จะได้
เมื่อ k = 3 จะได้
เมื่อ k = 4 จะได้
เมื่อ k = 5 จะได้
เมื่อแทนค่า k ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ จะได้จำนวนเชิงซ้อนที่ซ้ำกับ z1, z2, …, z6 แสดงว่ารากที่ 6 ของ - 64 คือ z1, z2, …, z6 เท่านั้น
แผนภาพของรากที่ 6 ของ - 64 แสดงได้โดยวงกลมรัศมียาว 2 หน่วย ดังนี้
ตัวอย่างที่ 3 จงหารากที่ 4 ของ
วิธีทำ ให้
ดังนั้น
โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้
ดังนั้น
จึงได้ว่า
ฉะนั้น
เมื่อ k = 0 จะได้ว่า
เมื่อ k = 1 จะได้ว่า
เมื่อ k = 2 จะได้ว่า
เมื่อ k = 3 จะได้ว่า
แผนภาพของรากที่ 4 ของ แสดงได้โดยวงกลมรัศมียาว หน่วย ดังนี้
จากตัวอย่างทั้งสาม สามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้
No comments:
Post a Comment