สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน     (Algebraic   Properties of Complex Numbers)

           ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้องกับการบวก การคูณ ซึ่งเรียกว่า   สมบัติพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน   เพิ่มเติมจากหัวข้อที่แล้ว

เอกลักษณ์และตัวผกผันการบวก                                                                           

           พิจารณาการบวกจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

                      (a, b) + (0 , 0)   =   (a+0, b+0)   =   (a, b)

           ทำนองเดียวกัน   (0 , 0) + (a, b)   =   (a, b)

           ดังนั้นจังกล่าวได้ว่า   (0 , 0) เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบจำนวนเชิงซ้อน

         ในระบบจำนวนจริง   ตัวผกผันการบวกของจำนวนใดก็ตาม   คือ   จำนวนที่นำมาบวกกับจำนวนนั้นแล้วได้เอกลักษณ์การบวก   ในระบบจำนวนเชิงซ้อนตัวผกผันการบวกของจำนวนเชิงซ้อนก็มีความหมายเช่นเดียวกัน

           สังเกตว่า   (a, b) + ( - a,  - b)   =   (a - a, b - b)   =   (0, 0)

           และ           ( - a,  - b) + (a , b)   =   (0 , 0)

           ดังนั้น        ( - a,  - b) เป็นตัวผกผันการบวกของ (a , b)

           หรือ             - a - bi   เป็นตัวผกผันการบวกของ a + bi

           ตัวผกผันการบวกของจำนวนเชิงซ้อน z เขียนแทนด้วย  - z

           ฉะนั้น           - (a +bi)   =    - a - bi

ตัวอย่างที่  6    ตัวผกผันการบวกของ ( - 2 , 1) คือ (2,  - 1)

                                      ตัวผกผันการบวกของ 3+2i คือ  - 3 - 2i

                                      ตัวผกผันการบวกของ 1 - i   คือ  - 1+i

การลบจำนวนเชิงซ้อน 

           เราจะนิยามการลบกันของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้

บทนิยาม      z -  w   =   z + ( - w)    สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z, w ใดๆ

ตัวอย่างที่  2       จงหา   (2  -  3i)  -  (4  -  i)

วิธีทำ      (2  -  3i)  -  (4  -  i)   =   ( 2  -  4)+( - 3  -  ( - 1))i

                                                   =    - 2  -  2i

เอกลักษณ์และตัวผกผันการคูณ  

          พิจารณาการคูณจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

                      (a,  b) (1, 0)    =   

                                            =   (a - 0 , 0+b)

                                            =   (a, b)

           ทำนองเดียวกัน  (1 , 0)(a,  b)   =   (a, b)

           ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่า (1, 0) เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจำนวนเชิงซ้อน

           ถ้า (a , b) เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่เท่ากับ (0 , 0) ตัวผกผันการคูณของ (a, b) คือจำนวนเชิงซ้อนที่คูณกับ (a , b) แล้ว ได้ (1, 0) ซึ่งหาได้ดังนี้

           ให้ (x, y) เป็นตัวผกผันการคูณของ (a ,b)

จะได้     (a, b) (x, y)   =   (1 , 0)                                              

แต่         (a, b) (x, y)   =   (ax - by, bx+ay)

ดังนั้น    (ax - by, bx+ay)   =   (1, 0)

จากบทนิยมจะได้    ax - by   =   1

และ                         bx+ay   =   0

โดยการแก้ระบบสมการ

จะได้     X              =     และ   Y         =  

ดังนั้น     (X,Y)  =      

ตรวจสอบว่า        เป็นตัวผกผันการคูณของ (a, b) ได้ดังนี้

                                 = (1, 0)

                =

                = (1,0)

และ      (a ,  b) = (1, 0)

ดังนั้น   ตัวผกผันการคูณของ (a , b) คือ 

ตัวผกผันการคูณของ z เขียนแทนด้วย     Z^-1

เมื่อเขียน   z   =  a+bi   จะได้ว่า  Z^-1  =

ตัวอย่างที่  3   ตัวผกผันการคูณของ   (4,-3) คือ 

                     ตัวผกผันการคูณของ  - 3+2i   คือ   

  

การหารจำนวนเชิงซ้อน

           เมื่อกำหนดจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับ(0, 0) มาให้   จะหาตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อนนี้ได้เสมอ   ดังนั้นอาจนิยามการหารจำนวนเชิงซ้อน z ด้วย wเมื่อ W  (0,0)    โดยอาศัยตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นตัวหารได้ดังนี้

บทนิยาม      สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z, w ใดๆ

                                ซึ่ง      และอาจเขียนแทน     ด้วย  

จากบทนิยาม   ถ้า   z   =   a+bi   และ   w   =   c+di

                      แล้ว            =              

                                                =              

ตัวอย่างที่  4 >    จงหา        

วิธีทำ     =              

                                =              

                                =              

           สังเกตว่าถ้า   z = a+bi เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้วผลคูณของ z กับจำนวนเชิงซ้อน w = a - bi ซึ่งต่างจาก z เพียงเครื่องหมายของส่วนจินตภาพจะเป็นจำนวนจริงเพราะว่า      เราจึงนำความจริงนี้ช่วยในการหาผลหารของจำนวนเชิงซ้อนได้อีกวิธีหนึ่งดังนี้

           ถ้า   Z₁ = a + bi และ   Z₂ = c + di    0    เป็นจำนวนเชิงซ้อน แล้ว

                       

           เช่น       เป็นต้น

บทนิยาม   ให้   z = a+bi   เป็นจำนวนเชิงซ้อน   จะเรียกจำนวนเชิงซ้อน

                                  a - bi   ว่าเป็นสังยุค (conjugate) ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 

                                  นั่นคือ   

   

สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

ให้   z, z₁   และ z₂    เป็นจำนวนเชิงซ้อน   จะได้ว่า

1)    Re (z)  =  และ 

2)   

3)   ถ้า       แล้ว  

4)   

5)   

6)   

7)   

พิสูจน์   เราพิจารณาเพียงข้อ 1, 3, 4, 7 ส่วนข้ออื่น   จะละไว้เป็นแบบฝึกหัดให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ z = a + bi จะได้      ทำให้ได้ว่า

                 

                                     =  Re(z)

    และ   

                                 = Im (z)

3) ให้   z   0  จะได้   a   และ   b   ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน   ทำให้ได้ว่า

                

     และ      

     ดังนั้น   

4) ให้  z₁ ,z₂ เป็นจำนวนเชิงซ้อน   โดยที่   z₁= a + bi และ z₂ = c + di  

      จะได้     z₁ + z₂ = (a + bi ) + (c + di)

                                =  (a +c) + ( b + d )i  

      นั่นคือ= ( a + c ) – ( b + d )i              

                                = (a – bi ) + ( c – di )  

                                =   

       ดังนั้น      

7) ให้ z₁ , z₂ เป็นจำนวนเชิงซ้อน  โดยที่ Z₂     0

     ดังนั้น    =   

                                =    จากข้อ (6)

                                =        จากข้อ (3)

                                =  

 ตัวอย่างที่ 5   จงใช้สังยุคของตัวหารช่วยในการหาผลหารของการหาร 2 - i ด้วย 3 + 2i  

วิธีทำ         =  

                                =  

                                =  

                                =  

ตัวอย่างที่  6      จงหาจำนวนเชิงซ้อน z ที่สอดคล้องสมการ (2+3i)z =  - 1 - 2i

วิธีทำ    จาก   (2+3i)z  =   - 1 - 2i   จะได้

                Z             =              

                                =              

                                =              

                                =              

ที่มาของเนื้อหา : http://www.vcharkarn.com/lesson/1529