รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน

รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน (square Roots  of  Compkex  Numbers)  

           ในหัวข้อนี้   จะแสดงการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ และหาคำตอบของสมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง

           ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ รากที่สองของ z คือ จำนวนเชิงซ้อน w ซึ่ง   w² =  z   สังเกตว่า   ถ้า w เป็นรากที่สองของ z แล้ว  - w จะเป็นรากที่สองของ zด้วย และรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีเพียงสองจำนวนเท่านั้น

           ต่อไปนี้จะแสดงวิธีหาสูตรเพื่อใช้ในการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนใดๆ  

           ให้   z = x+ yi เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง x และ y เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ พร้อมกัน และให้ w = a + bi เป็นรากที่สองของ  z

           ดังนั้น   z = x + yi = w² = (a + bi)² = (a² – b²) + 2abi  

           จึงทำให้ได้  a² – b² = x           ..........(1)

           และ             2ab = y                  ……...(2)

           ดังนั้น      (a² + b²)² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ = (a⁴ – 2a²b² + b⁴) + 4a²b²

                                  (a² – b²)² + (2ab²) 

                                   x²  + y²                                                                                                                               

           จะได้   a² + b² =          ...........(3)

            ถ้านำสมการ (1) + (3) จะได้   a² =   และ

            ถ้านำสมการ (3) - (1) จะได้    b² =    และทำให้ได้

             a =   และ   b = 

           แต่รากที่สองของ z มีเพียงสองจำนวนเท่านั้น   เราจึงต้องเลือกเครื่องหมายของ a และ b ให้ถูกต้องโดยสังเกตจากสมการ (2) ซึ่งแสดงว่า 2ab = y นั่นคือ เครื่องหมายของผลคูณ ab ต้องเหมือนกับเครื่องหมายของ y เราเลือก a และ b ดังนี้

           ถ้า   y  0  รากที่สองของ z คือ

                

           ถ้า   y  < 0 รากที่สองของ z คือ

                

           เราจึงสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้

ทฤษฎีบท    กำหนดจำนวนเชิงซ้อน   z =  x+ yi และให้

                                  r =   จะได้ว่ารากที่สองของ z คือ

วิธีทำ       ให้   z =  - 7 - 24i เมื่อเทียบกับ x + yi ในทฤษฎีบทจะได้ว่า   x =  - 7 และ y =  - 24ตัวอย่างที่  1    จงหารากที่สองของ  - 7 - 24i

                               และ    

                               เนื่องจาก   y < 0 ดังนั้นรากที่สองของ  - 7 - 24i คือ

                                

                              ดังนั้นรากที่สองของ  - 7 - 24i คือ  - 3 - 4i และ  - 3+4i

                             ในกรณีที่จำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจริงลบ   การหารากที่สองสามารถทำได้โดยง่ายดังนี้

                              ให้   z =  - a เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก จะได้ว่ารากที่สองของ z คือ   และ 

                             เช่น   รากที่สองของ  - 9   คือ 3i และ  - 3i

                                      รากที่สองของ  - 5   คือ    และ 

                      เราจะนำความรู้เรื่องรากที่สองของจำนวนจริงลบไปใช้   เพื่อหาคำตอบของสมการกำลังสองได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้   

ตัวอย่างที่  2    จงหาสูตรสำหรับคำตอบของสมการพหุนามกำลังสอง ax² + bx + c = 0
  เมื่อ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ 

วิธีทำ     จาก   ax² + bx + c = 0     โดยที่   

                         จะได้   

                                    
                                      

                        ถ้า      จะได้   

                                      

                                     

                   ดังนั้น      หรือ   

                  แต่ถ้า     จะได้     

                              

                                

                ดังนั้น      หรือ   

               นั่นคือคำตอบของสมการพหุนาม   ax² + bx +c = 0   เมื่อ a, b และ c

               เป็นจำนวนจริง โดยที่     คือ       เมื่อ  

               และคือ   เมื่อ 

ตัวอย่างเช่น ในการหาคำตอบของสมการพหุนาม 2x² – 3x +6 = 0 เราจะทำดังนี้จากสมการพหุนามที่กำหนดเมื่อทเยบกับสมการ   ax² + bx + c = 0

จะได้   a = 2, b =  - 3 และ c = 6

ฉะนั้น   b²-4ac (-3)²-(4)(2)(6)  =  - 39 ซึ่ง   - 39 < 0

จะได้   

                                

              

ดังนั้น คำตอบของพหุนามนี้คือ    และ

ตัวอย่างที่  3    จงหาเซตคำตอบของสมการ   x⁶-1 = 0    

วิธีทำ    จาก  x⁶ – 1 = 0

                       จะได้   (x³ + x) (x³ – 1 ) = 0

                                    (x – 1 ) (x² – x + 1) (x – 1 ) (x² + x + 1) = 0

                       ดังนั้น   x = - 1 หรือ x =1 หรือ x² – x + 1   หรือ   x² + x + 1 = 0

                       จาก    x² – x +1 = 0 

                       จะได้      หรือ   

                       และจาก  x² + x + 1 = 0   

                       จะได้       หรือ 

                       ดังนั้น   เซตคำตอบของสมการที่กำหนดคือ

                                

ตัวอย่างที่  4   จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการต่อไปนี้

           1)   2x² + 6 = 0 

           2)   3z² + 5z 3 = 0

           3)   (2 – i ) z² + 1 – 2i = 0
วิธีทำ    1) เราอาจใช้การแยกตัวประกอบในการหาคำตอบของสมการได้ดังนี้

                

                            เพราะฉะนั้น    เป็นคำตอบของสมการ      

                           2) สำหรับสมการนี้เราจะใช้สูตรหาคำตอบของสมการกำลังสองที่กล่าวไว้ในตัวอย่างที่ 2 ดังนี้

                          เนื่องจาก   5² – 4 (3)(3) = 25 – 36 = - 11 ซึ่ง  - 11 < 0 ดังนั้น   คำตอบของสมการคือ

                                                   

                        นั่นคือ    และ       เป็นคำตอบของสมการ

                       3) จาก   (2 – i ) z² + 1 – 2i = 0 จะได้

                                หารากที่สองของ    ดังนี้

                             

                       เนื่องจาก      ดังนั้นรากที่สองของ    คือ

                          

                      ฉะนั้นคำตอบของสมการคือ    และ   

ที่มาของเนื้อหา : http://www.vcharkarn.com/lesson/1536